Занятие 3.2.1
Перпендикулярность прямых.
Перпендикуляр и наклонная.
Теорема о трех перпендикулярах.
Определение: Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90 градусов.
Обозначение . .
Рассмотрим прямые а и b .
Прямые могут пересекаться, скрещиваться, быть параллельными. Для того, чтобы построить угол между ними нужно выбрать точку и через нее провести прямую a`, параллельную прямой а, и прямую b` , параллельную прямой b .
Прямые a` и b` пересекаются. Угол между ними и есть угол между прямыми а и b. Если угол равен 90°, то прямыеа и b перпендикулярны.
Лемма: Если одна из двух прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.
Доказательство:
Возьмем произвольную точку М . Через точку М проведем прямую a` , параллельную прямой а и прямую c` , параллельную прямой c . Тогда угол АМС равен 90°.
Прямая b параллельна прямой а по условию, прямая a` параллельна прямой а по построению. Значит, прямые a` и b параллельны.
Имеем, прямые и b параллельны, прямые с и параллельны по построению. Значит, угол между прямыми b и с – это угол междупрямыми a` и b`, то есть угол АМС , равный 90°. Значит, прямые b и с перпендикулярны, что и требовалось доказать.
Перпендикулярность прямой и плоскости.
Определение: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Свойство: Если прямая перпендикулярна к плоскости, то она пересекает эту плоскость.
(Если a ┴ α, тоa ∩ α.)
Напоминание . Прямая и плоскость или пересекаются в одной точке, или параллельны, или прямая лежит в плоскости.
Свойства перпендикулярных прямых и плоскости:
Теорема: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
На первом занятии мы изучали Лемму – если одна из параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая параллельная прямая пересекает плоскость. Прямая а пересекаетподуглом 90 0 , т.е перпендикулярна, то и другаяпараллельнаяпрямая – перпендикулярна
Теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Теорема: Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к плоскости
Теорема: Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости и притом только одна.
План-конспект урока по геометрии в 10 классе на тему «Перпендикулярность прямой и плоскости»
Цели урока:
обучающие
введение признака перпендикулярности прямой и плоскости;
формировать представления учащихся о перпендикулярности прямой и плоскости, их свойствах;
формировать умения учащихся решать типичные задачи по теме, умения доказывать утверждения;
развивающие
развивать самостоятельность, познавательную активность;
развивать умение анализировать, делать выводы, систематизировать полученную информацию,
развивать логическое мышление;
развивать пространственное воображение.
воспитательные
воспитание культуры речи учащихся, усидчивости;
прививать учащимся интерес к предмету.
Тип урока: Урок изучения и первичного закрепления знаний.
Формы работы учащихся: фронтальный опрос.
Оборудование: компьютер, проектор, экран.
Литература: «Геометрия 10-11», Учебник. Атанасян Л.С. и др.
(2009, 255с.)
План урока:
Организационный момент (1 минуты);
Актуализация знаний (5 минут);
Изучение нового материала (15 минут);
Первичное закрепление изученного материала (20 минуты);
Подведение итогов (2 минуты);
Домашнее задание (2 минуты).
Ход урока.
Организационный момент (1 минуты)
Приветствие учеников. Проверка готовности учащихся к уроку: проверка наличия тетрадей, учебников. Проверка отсутствующих на уроке.
Актуализация знаний (5 минут)
Учитель. Какая прямая называется перпендикулярной к плоскости?
Ученик. Прямая перпендикулярная любой прямой лежащей в этой плоскости называется прямой перпендикулярной этой плоскости.
Учитель. Как звучит лемма о двух параллельных прямых перпендикулярных третьей?
Ученик. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.
Учитель. Теорема о перпендикулярности двух параллельных прямых к плоскости.
Ученик. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и вторая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
Учитель. Как звучит теорема обратная данной?
Ученик. Если две прямые перпендикулярный одной и той же плоскости, то они параллельны.
Проверка домашнего задания
Домашнее задание проверяется, если у учеников возникли трудности при его решении.
Изучение нового материала (15 минут)
Учитель. Мы с вами знаем, что если прямая перпендикулярная к плоскости, то она будет перпендикулярна к любой прямой лежащей в этой плоскости, но в определении перпендикулярность прямой к плоскости дается как факт. На практике же часто приходится определить будет ли являться прямая перпендикулярной к плоскости или нет. Такие примеры можно привести из жизни: при строительстве зданий сваи вбивают перпендикулярно поверхности земли, иначе конструкция может рухнуть. Определением прямой перпендикулярной плоскости в этом случае воспользоваться невозможно. Почему? Сколько прямых можно провести в плоскости?
Ученик. В плоскости можно провести бесконечно много прямых
Учитель. Правильно. И проверить перпендикулярность прямой к каждой отдельной плоскости невозможно, так как это займет бесконечно много времени. Для того чтобы понять является ли прямая перпендикулярной к плоскости введем признак перпендикулярности прямой и плоскости. Запишите в тетради. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
Запись в тетради. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
Учитель. Таким образом нам нет необходимости проверять перпендикулярность прямой для каждой прямой плоскости, достаточно проверить перпендикулярность лишь для двух прямых этой плоскости.
Учитель. Давайте докажем это признак.
Дано: p и q – прямые, p ∩ q = O , a ⊥ p , a ⊥ q , p ϵ α, q ϵ α.
Доказать: a ⊥ α.
Учитель. И все таки для доказательства воспользуемся определением прямой перпендикулярной плоскости, как оно звучит?
Ученик. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой лежащей в этой плоскости.
Учитель. Правильно. Начертим в плоскости α любую прямую m . Проведем через точку О прямую l ║ m . На прямой a отметим точки А и В так чтобы точка О была серединой отрезка АВ. Проведем прямую z таким образом, чтобы она пересекала прямые p , q , l , точки пересечения этих прямых обозначим P , Q , L соответственно. Соединим концы отрезка АВ с точками P ,Q и L .
Учитель. Что мы можем сказать о треугольниках ∆APQ и ∆BPQ ?
Ученик. Эти треугольники будут равны (по 3 признаку равенства треугольников).
Учитель. Почему?
Ученик. Т.к. прямые p и q – серединные перпендикуляры, то AP = BP , AQ = BQ , а сторона PQ – общая.
Учитель. Правильно. Что мы можем сказать о треугольниках ∆APL и ∆BPL ?
Ученик. Эти треугольники тоже будут равны (по 1 признаку равенства треугольников).
Учитель. Почему?
Ученик. AP = BP , PL – общая сторона, APL = BPL (из равенства ∆ APQ и ∆ BPQ )
Учитель. Правильно. А значит AL = BL . Значит каким будет ∆ALB ?
Ученик. Значит ∆ALB будет равнобедренным.
Учитель. LO – медиана в ∆ALB , значит чем она будет являться в этом треугольнике?
Ученик. Значит LO будет являться еще и высотой.
Учитель. Следовательно прямая l будет перпендикулярна прямой a . А так как прямая l – любая прямая принадлежащая плоскости α, то по определению прямая a ⊥ α. Что и требовалось доказать.
Доказывается при помощи призентации
Учитель. А что делать если прямая a не пересекает точку О, но остается перпендикулярной к прямым p и q ? Если прямая а пересекает любую другую точку данной плоскости?
Ученик. Можно построить прямую а 1 , которая будет параллельна прямой а, будет пересекать точку О, а по лемме о двух параллельных прямых перпендикулярных третьей можно доказать, что a 1 ⊥ p , a 1 ⊥ q .
Учитель. Правильно.
Первичное закрепление изученного материала (20 минут)
Учитель. Для того чтобы закрепить изученный нами материал решим номер 126. Прочтите задание.
Ученик. Прямая МВ перпендикулярна к сторонам АВ и ВС треугольника АВС. Определите вид треугольника МВD , где D – произвольная точка прямой АС.
Рисунок.
Дано: ∆ ABC , MB ⊥ BA , MB ⊥ BC , D ϵ AC .
Найти: ∆MBD.
Решение.
Учитель. Можно через вершины треугольника провести плоскость?
Ученик. Да, можно. Плоскость можно провести по трем точкам.
Учитель. Как будут расположены прямые ВА и СВ относительно этой плоскости?
Ученик. Эти прямые будут лежать в этой плоскости.
Учитель. Получается, что мы имеем плоскость, и в ней две пересекающиеся прямые. Как относится прямая МВ к этим прямым?
Ученик. Прямая МВ ⊥ ВА, МВ ⊥ ВС.
Запись на доске и в тетрадях. Т.к. МВ ⊥ ВА, МВ ⊥ ВС
Учитель. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым лежащим в плоскости, то прямая будет относится к этой плоскости?
Ученик. Прямая МВ будет перпендикулярна плоскости АВС.
⊥ АВС.
Учитель. Точка D – произвольная точка на отрезке АС, значит как будет относится прямая BD к плоскости АВС?
Ученик. Значит BD принадлежит плоскости АВС.
Запись на доске и в тетрадях. Т.к. BD ϵ ABC
Учитель. Какими относительно друг друга будут являться прямые МВ и BD ?
Ученик. Эти прямые будут перпендикулярны по определению прямой перпендикулярной к плоскости.
Запись на доске и в тетрадях. ↔ МВ ⊥ BD
Учитель. Если МВ перпендикулярно BD , то каким будет треугольник MBD ?
Ученик. Треугольник MBD будет прямоугольным.
Запись на доске и в тетрадях. ↔ ∆MBD – прямоугольный.
Учитель. Правильно. Решим номер 127. Прочтите задание.
Ученик. В треугольнике ABC сумма углов A и B равна 90°. Прямая BD перпендикулярна к плоскости ABC . Докажите, что CD ⊥ AC.
Ученик выходит к доске. Рисует чертеж.
Запись на доске и в тетради.
Дано: ∆ ABC , A + B = 90°, BD ⊥ ABC .
Докажите: CD ⊥ AC .
Доказательство:
Учитель. Чему равна сумма углов треугольника?
Ученик. Сумма углов в треугольнике равна 180°.
Учитель. Чему будет равен угол C в треугольнике ABC ?
Ученик. Угол C в треугольнике ABC будет равен 90°.
Запись на доске и в тетрадях. C = 180° - A - B = 90°
Учитель. Если угол С равен 90°, то как относительно друг друга будут располагаться прямые АС и ВС?
Ученик. Значит АС ⊥ ВС.
Запись на доске и в тетрадях. ↔ АС ⊥ ВС
Учитель. Прямая BD перпендикулярна плоскости ABC . Что из этого следует?
Ученик. Значит BD перпендикулярно любой прямой из ABC .
BD ⊥ ABC ↔ BD перпендикулярно любой прямой из ABC (по определению)
Учитель. В соответствии с этим, как будут относится прямые BD и AC ?
Ученик. Значит эти прямые будут перпендикулярны.
BD ⊥ AC
Учитель. АС перпендикулярно двум пересекающимся прямым лежащим в плоскости DBC , но АС не проходит через точку пересечения. Как это исправить?
Ученик. Через точку В проведем прямую а параллельную АС. Так как АС перпендикулярно BC и BD , то и а будет перпендикулярно BC и BD по лемме.
Запись на доске и в тетрадях. Через точку В проведем прямую а ║АС ↔ а ⊥ BC , а ⊥ BD
Учитель. Если прямая а будет перпендикулярно BC и BD , то что можно сказать о взаимном расположении прямой а и плоскости BDC ?
Ученик. Значит прямая а будет перпендикулярна плоскости BDC , а значит и прямая АС будет перпендикулярна BDC .
Запись на доске и в тетрадях. ↔ а ⊥ BDC ↔ АС ⊥ BDC .
Учитель. Если АС перпендикулярна BDC , то как относительно друг друга будут располагаться прямые АС и DC ?
Ученик. АС и DC будут перпендикулярны по определению прямой перпендикулярной к плоскости.
Запись на доске и в тетрадях. Т.к. АС ⊥ BDC ↔ АС ⊥ DC
Учитель. Молодец. Решим номер 129. Прочитайте задание.
Ученик. Прямая AM перпендикулярна к плоскости квадрата ABCD , диагонали которого пересекаются в точке О. Докажите, что: а) прямая BD перепендикулярна к плоскости AMO ; б) MO ⊥ BD .
К доске выходит ученик. Рисует чертеж.
Запись на доске и в тетради.
Дано: ABCD – квадрат, AM ⊥ ABCD , AC ∩ BD = O
Доказать: BD ⊥ AMO, MO ⊥ BD
Доказательство:
Учитель. Нам нужно доказать чтопрямая BD ⊥ AMO . Какие условия для этого должны выполняться?
Ученик. Нужно чтобы прямая BD была перпендикулярна хотябы двум пересекающимся прямым из плоскости AMO .
Учитель. В условии сказано что BD перпендикулярна двум пересекающимся прямым из AMO ?
Ученик. Нет.
Учитель. Но мы знаем, что AM перпендикулярна ABCD . Какой вывод можно из этого сделать?
Ученик. Значит, что AM перпендикулярна любой прямой из этой плоскости, тоесть AM перпендикулярна BD .
AM ⊥ ABCD ↔ AM ⊥ BD (по определению).
Учитель. Одна прямая перпендикулярна BD есть. Обратите внимание на квадрат, как будут распологаться относительно друг друга прямые AC и BD ?
Ученик. AC будет перпендикулярна BD по свойству диагоналей квадрата.
Запись на доске и в тетради. Т.к. ABCD – квадрат, то AC ⊥ BD (по свойству диагоналей квадрата)
Учитель. Мы нашли две пересекающиеся прямые лежащие в плоскости AMO перпендикулярные прямой BD . Что из этого следует?
Ученик. Значит, что BD перпендикулярна плоскости AMO .
Запись на доске и в тетрадях. Т.к. AC ⊥ BD и AM ⊥ BD ↔ BD ⊥ AMO (по признаку)
Учитель. Какая прямая называется прямой перпендикулярной к плоскости?
Ученик. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна любой прямой из этой плоскости.
Учитель. А значит как взаимо расположены прямые BD и OM ?
Ученик. Значит BD перпендикулярно OM . Что и требовалось доказать.
Запись на доске и в тетрадях. ↔ BD ⊥ MO (по определению). Что и требовалось доказать.
Подведение итогов (2 минуты)
Учитель. Сегодня мы изучили признак перпендикулярности прямой и плоскости. Как он звучит?
Ученик. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым лежащим в плоскости, то эта прямая перпендикулярна этой плоскости.
Учитель. Правильно. Мы научились применять этот признак при решении задач. Кто отвечал у доски и помогал с места молодцы.
Домашнее задание (2 минуты)
Учитель. Параграф 1, пункты 15 -17, учить: лемму, определение и все теоремы. №130, 131.
Усеченный конус и его свойства. Площадь полной и боковой усеченного конуса.
Билет № 21.
Теорема об отрезках параллельных прямых, заключенных между параллельными плоскостями.
Пирамида. Площадь полной и боковой поверхности пирамиды. Объем пирамиды.
Билет № 22.
Теоремы о линии пересечения плоскостей: одна из которых проходит через прямую, параллельную другой плоскости; каждая из которых проходит через одну из двух параллельных прямых.
Признак выпуклого многогранника. Понятие о развертке многогранника.
Теорема - признак выпуклого многогранника (обратная теорема). Если многогранник лежит по одну сторону от каждой своей грани, то он выпуклый.
Доказательство (от противного):
1) Пусть многогранник М лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани. Допустим, что многогранник не выпуклый. Тогда найдутся такие две точки А и В, что на отрезке АВ есть точка Х, не принадлежащая М. α - плоскость, содержащая грань выпуклого многогранника. Допустим, что многогранник не лежит по одну сторону от плоскости α. Тогда существуют две такие точки А и В, которые лежат по разные стороны от плоскости α. Соединим точки А и В со всеми точками грани Q, лежащей в плоскости α. Получен многогранник M 1 , состоящий из двух пирамид с вершинами А и В и общим основанием Q. Эти пирамиды образованы отрезками АХ и ВХ, где Х - любая точка грани Q.
2) Поскольку исходный многогранник М выпуклый, то точки отрезков АХ и ВХ, то есть все точки многогранника M 1 являются внутренними точками многогранника М. Иначе многогранник M 1 целиком содержится внутри многогранника М. Это означает, что внутренние точки многоугольника Q лежат внутри многогранника M 1 и многогранника М. Это невозможно, так как многоугольник Q - грань выпуклого многогранника М, а каждая точка этой грани является граничной точкой многогранника. Противоречие. Допущение неверно. Следовательно, точки А и В не лежат по разные стороны от выбранной грани. Многогранник выпуклый по определению.
Поверхностью многогранника является фигура, составленная из конечного числа многоугольников, которые прикладываются друг к другу равными сторонами, и каждая сторона любого из этих многоугольников является общей только для двух из них. Такую фигуру называют замкнутой многогранной поверхностью .
Если модель многогранника разрезать по некоторым ребрам и развернуть на плоскости, то получится многоугольник, который называется разверткой данного многогранника .
Многоугольники, составляющие развертку многогранника, называются гранями развертки , стороны этих многоугольников - ребрами развертки , вершины многоугольников - вершинами развертки , причем склеиваемые стороны многоугольников считаются за одно ребро, а склеиваемые вершины - за одну вершину.
Для того чтобы из данной развертки можно было склеить выпуклый многогранник, необходимо выполнение следующих условий:
1) Условие замкнутости : каждая сторона каждого многоугольника развертки должна склеиваться еще с какой-либо одной стороной одного и только одного другого многоугольника (называемого смежным с данным).
2) Условие Эйлера : если развертка состоит из Г граней, В вершин и Р ребер, то выполняется теорема Декарта-Эйлера.
3) Условие выпуклости : сумма внутренних углов многоугольников (граней) при каждой из вершин развертки должна быть меньше 360°.
Билет № 23.
Теорема о прямой, параллельной каждой из двух пересекающихся плоскостей.
Параллелепипед: его свойства и виды. Объем параллелепипеда.
Билет № 24.
Теоремы о прямых, перпендикулярных плоскости.
На этом уроке мы повторим теорию и докажем теорему-признак перпендикулярности прямой и плоскости.
В начале урока вспомним определение прямой, перпендикулярной к плоскости. Далее рассмотрим и докажем теорему-признак перпендикулярности прямой и плоскости. Для доказательства этой теоремы вспомним свойство серединного перпендикуляра.
Далее решим несколько задач на перпендикулярность прямой и плоскости.
Тема: Перпендикулярность прямой и плоскости
Урок: Признак перпендикулярности прямой и плоскости
На этом уроке мы повторим теорию и докажем теорему-признак перпендикулярности прямой и плоскости .
Определение . Прямая а называется перпендикулярной к плоскости α, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
Доказательство .
Пусть нам дана плоскость α. В этой плоскости лежат две пересекающиеся прямые p и q . Прямая а перпендикулярна прямой p и прямой q . Нам нужно доказать, что прямая а перпендикулярна плоскости α, то есть, что прямая а перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости α.
Напоминание .
Для доказательства нам нужно вспомнить свойства серединного перпендикуляра к отрезку. Серединный перпендикуляр р к отрезку АВ - это геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка. То есть, если точка С лежит на серединном перпендикуляре р, то АС = ВС .
Пусть точка О - точка пересечения прямой а и плоскости α (рис. 2). Без ограничения общность, будем считать, что прямые p и q пересекаются в точке О . Нам нужно доказать перпендикулярность прямой а к произвольной прямой m из плоскости α.
Проведем через точку О
прямую l
, параллельно прямой m.
На прямой а
отложим отрезки ОА
и ОВ
, причем ОА
= ОВ
, то есть точка О
- середина отрезка АВ
. Проведем прямую PL
, 
.
Прямая р
перпендикулярна прямой а
(из условия), 
(по построению). Значит, р
АВ
. Точка Р
лежит на прямой р
. Значит, РА = РВ
.
Прямая q
перпендикулярна прямой а
(из условия), 
(по построению). Значит, q
- серединный перпендикуляр к отрезку АВ
. Точка Q
лежит на прямой q
. Значит, QА =
QВ
.
Треугольники АР Q и ВР Q равны по трем сторонам (РА = РВ , QА = QВ, Р Q - общая сторона). Значит, углы АР Q и ВР Q равны.
Треугольники А PL и BPL равны по углу и двум прилежащим сторонам (∠АР L = ∠ВР L, РА = РВ , PL - общая сторона). Из равенства треугольников получаем, что AL = BL .
Рассмотрим треугольник ABL. Он равнобедренный, так как AL = BL. В равнобедренном треугольнике медиана LО является и высотой, то есть прямая LО перпендикулярна АВ .
Мы получили, что прямая а перпендикулярна прямой l, а значит, и прямой m, что и требовалось доказать.
Точки А, М, О лежат на прямой, перпендикулярной к плоскости α, а точки О, В, С и D лежат в плоскости α (рис. 3). Какие из следующих углов являются прямыми: ?
Решение
Рассмотрим угол . Прямая АО перпендикулярна плоскости α, а значит, прямая АО перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости α, в том числе прямой ВО . Значит, .
Рассмотрим угол . Прямая АО перпендикулярна прямой ОС , значит, .
Рассмотрим угол . Прямая АО перпендикулярна прямой О D , значит, . Рассмотрим треугольник DAO . В треугольнике может быть только один прямой угол. Значит, угол DAM - не является прямым.
Рассмотрим угол . Прямая АО перпендикулярна прямой О D , значит, .
Рассмотрим угол . Это угол в прямоугольном треугольнике BMO , он не может быть прямым, так как угол МОВ - прямой.
Ответ
: 
.
В треугольнике АВС дано: , АС = 6 см, ВС = 8 см, СМ - медиана (рис. 4). Через вершину С проведена прямая СК , перпендикулярная к плоскости треугольника АВС , причем СК = 12 см. Найдите КМ .
Решение :
Найдем длину АВ по теореме Пифагора: (см).
По свойству прямоугольного треугольника середина гипотенузы М
равноудалена от вершин треугольника. То есть СМ = АМ = ВМ
, 
(см).
Рассмотрим треугольник КСМ . Прямая КС перпендикулярна плоскости АВС , а значит, КС перпендикулярна СМ . Значит, треугольник КСМ - прямоугольный. Найдем гипотенузу КМ из теоремы Пифагора: (см).
1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.
Задания 1, 2, 5, 6 стр. 57
2. Дайте определение перпендикулярности прямой и плоскости.
3. Укажите в кубе пару - ребро и грань, которые являются перпендикулярными.
4. Точка К лежит вне плоскости равнобедренного треугольника АВС и равноудалена от точек В и С . М - середина основания ВС . Докажите, что прямая ВС перпендикулярна плоскости АКМ .
В этой статье мы поговорим о перпендикулярности прямой и плоскости. Сначала дано определение прямой, перпендикулярной к плоскости, приведена графическая иллюстрация и пример, показано обозначение перпендикулярных прямой и плоскости. После этого сформулирован признак перпендикулярности прямой и плоскости. Далее получены условия, позволяющие доказывать перпендикулярность прямой и плоскости, когда прямая и плоскость заданы некоторыми уравнениями в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве. В заключении показаны подробные решения характерных примеров и задач.
Навигация по странице.
Перпендикулярные прямая и плоскость – основные сведения.
Рекомендуем для начала повторить определение перпендикулярных прямых , так как определение прямой, перпендикулярной к плоскости, дается через перпендикулярность прямых.
Определение.
Говорят, что прямая перпендикулярна к плоскости , если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Также можно сказать, что плоскость перпендикулярна к прямой, или прямая и плоскость перпендикулярны.
Для обозначения перпендикулярности используют значок вида «». То есть, если прямая c перпендикулярна к плоскости , то можно кратко записать .
В качестве примера прямой, перпендикулярной к плоскости, можно привести прямую, по которой пересекаются две смежных стены комнаты. Эта прямая перпендикулярна к плоскости и к плоскости потолка. Канат в спортивном зале можно также рассматривать как отрезок прямой, перпендикулярной к плоскости пола.
В заключении этого пункта статьи отметим, что если прямая перпендикулярна к плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным девяноста градусам.
Перпендикулярность прямой и плоскости - признак и условия перпендикулярности.
На практике часто возникает вопрос: «Перпендикулярны ли заданные прямая и плоскость»? Для ответа на него существует достаточное условие перпендикулярности прямой и плоскости , то есть, такое условие, выполнение которого гарантирует перпендикулярность прямой и плоскости. Это достаточное условие называют признаком перпендикулярности прямой и плоскости. Сформулируем его в виде теоремы.
Теорема.
Для перпендикулярности заданных прямой и плоскости достаточно, чтобы прямая была перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.
Доказательство признака перпендикулярности прямой и плоскости Вы можете посмотреть в учебнике геометрии за 10 -11 классы.
При решении задач на установление перпендикулярности прямой и плоскости также часто применяется следующая теорема.
Теорема.
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и вторая прямая перпендикулярна к плоскости.
В школе рассматривается много задач, для решения которых применяется признак перпендикулярности прямой и плоскости, а также последняя теорема. Здесь мы не будем на них останавливаться. В этом пункте статьи основное внимание сосредоточим на применении следующего необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости.
Это условие можно переписать в следующем виде.
Пусть 
- направляющий вектор прямой a
, а 
- нормальный вектор плоскости . Для перпендикулярности прямой a
и плоскости необходимо и достаточно, чтобы выполнялось 
и : 
, где t
– некоторое действительное число.
Доказательство этого необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости основано на определениях направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости.
Очевидно, это условие удобно использовать для доказательства перпендикулярности прямой и плоскости, когда легко находятся координаты направляющего вектора прямой и координаты нормального вектора плоскости в зафиксированной в трехмерном пространстве. Это справедливо для случаев, когда заданы координаты точек, через которые проходят плоскость и прямая, а также для случаев, когда прямую определяют некоторые уравнения прямой в пространстве , а плоскость задана уравнением плоскости некоторого вида.
Рассмотрим решения нескольких примеров.
Пример.
Докажите перпендикулярность прямой 
и плоскости .
Решение.
Нам известно, что числа, стоящие в знаменателях канонических уравнений прямой в пространстве , являются соответствующими координатами направляющего вектора этой прямой. Таким образом, 
- направляющий вектор прямой .
Коэффициенты при переменных x
, y
и z
в общем уравнении плоскости являются координатами нормального вектора этой плоскости, то есть, 
- нормальный вектор плоскости .
Проверим выполнение необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости.
Так как 
, то векторы и связаны соотношением 
, то есть, они коллинеарны. Следовательно, прямая перпендикулярна плоскости .
Пример.
Перпендикулярны ли прямая 
и плоскость .
Решение.
Найдем направляющий вектор заданной прямой и нормальный вектор плоскости, чтобы проверить выполнений необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости.
Направляющим вектором прямой является