Conceptul de domeniu. forțe conservatoare

câmp fizic- o formă specială de materie care leagă particule de materie și transmite (cu o viteză finită) impactul unor corpuri asupra altora. Fiecare tip de interacțiune din natură are propriul său domeniu. Câmp de forță numită regiune a spațiului în care un corp material plasat acolo este afectat de o forță care depinde (în cazul general) de coordonate și de timp. Câmpul de forță se numește staționar, dacă forţele care acţionează în ea nu depind de timp. Un câmp de forță, în orice punct în care forța care acționează asupra unui punct material dat are aceeași valoare (în modul și direcție), este omogen.

Este posibil să se caracterizeze câmpul de forță linii de înaltă tensiune.În acest caz, tangentele la liniile de forță determină direcția forței în acest câmp, iar densitatea liniilor de forță este proporțională cu mărimea forței.

Orez. 1.23.

Central se numește o forță, a cărei linie de acțiune trece în toate pozițiile printr-un anumit punct definit, numit centru de forță (punct Oîn fig. 1.23).

Câmpul în care acționează forța centrală este câmpul de forță centrală. Mărimea forței F(r), acționând asupra aceluiași obiect material (punct material, corp, sarcină electrică etc.) în puncte diferite ale unui astfel de câmp depinde doar de distanța r de centrul de forțe, adică.

(- vector unitar în direcția vectorului G). Toată puterea

Orez. 1.24. Reprezentare schematică pe un plan hoy câmp omogen

liniile unui astfel de câmp trec printr-un punct (pol) O; momentul forței centrale în acest caz relativ la pol este identic egal cu zero M 0 (F) = z 0. Câmpurile centrale includ câmpuri gravitaționale și, respectiv, de Coulomb (și forțe).

Figura 1.24 prezintă un exemplu de câmp de forță uniform (proiecția sa plată): în fiecare punct al unui astfel de câmp, forța care acționează asupra aceluiași corp este aceeași ca mărime și direcție, adică.

Orez. 1.25. Reprezentare schematică pe hoy câmp neomogen

Figura 1.25 prezintă un exemplu de câmp neomogen în care F (X,

y,z) *? const şi

și nu sunt egale cu zero 1 . Densitatea liniilor de câmp în diferite regiuni ale unui astfel de câmp nu este aceeași - în regiunea din dreapta, câmpul este mai puternic.

Toate forțele din mecanică pot fi împărțite în două grupe: forțe conservative (care acționează în câmpuri potențiale) și neconservative (sau disipative). Forțele sunt numite conservator (sau potential) dacă activitatea acestor forțe nu depinde de forma traiectoriei corpului asupra căruia acţionează, nici de lungimea traseului în zona de acţiune a acestora, ci este determinată numai de poziţiile iniţiale şi finale ale punctele de deplasare în spațiu. Câmpul forțelor conservatoare se numește potenţial(sau conservator) domeniu.

Să arătăm că munca forțelor conservatoare de-a lungul unui contur închis este egală cu zero. Pentru a face acest lucru, împărțim în mod arbitrar traiectoria închisă în două secțiuni a2și b2(Fig. 1.25). Din moment ce forțele sunt conservatoare, atunci L 1a2 \u003d A t. Pe cealaltă parte A 1b2 \u003d -A w. Apoi A ish \u003d A 1a2 + A w \u003d \u003d A a2 - A b2 \u003d 0, ceea ce urma să fie demonstrat. Corect și invers

Orez. 1.26.

afirmație: dacă munca forțelor de-a lungul unui contur închis arbitrar φ este egal cu zero, atunci forțele sunt conservatoare, iar câmpul este potențial. Această condiție este scrisă ca o integrală de contur

Orez. 1.27.

care înseamnă: într-un câmp potențial, circulația vectorului F de-a lungul oricărei bucle închise L este egală cu zero.

Lucrarea forțelor neconservative în cazul general depinde atât de forma traiectoriei, cât și de lungimea traseului. Forțele de frecare și rezistență pot servi ca exemplu de forțe neconservative.

Să arătăm că toate forțele centrale aparțin categoriei forțelor conservatoare. Într-adevăr (Fig. 1.27), dacă forţa F central, atunci poate fi pre-

1 Prezentat în fig. 1.23 câmpul de forță central este și el un câmp neomogen.

pus sub forma În acest caz, munca elementară a forţei F

pe deplasarea elementară d/ va fi sau

dA = F(r)dlcos a = F(r) dr (pentru că rdl = rdl cos a, a d/ cos a = dr). Atunci lucrează

unde f(r) este funcția antiderivată.

Din expresia rezultată se vede că lucrarea Sus forță centrală F depinde doar de tipul funcției F(r) si distante G (și r 2 punctele 1 și 2 din centrul de forță O și nu depinde de lungimea traseului de la 1 la 2, ceea ce reflectă natura conservativă a forțelor centrale.

Dovada de mai sus este generală pentru orice forțe și câmpuri centrale, prin urmare, acoperă forțele menționate mai sus - gravitaționale și Coulomb.

CÂMP DE FORȚĂ- o parte de spatiu (limitata sau nelimitata), in fiecare punct al caruia o particula materiala plasata acolo este afectata de o forta determinata in valoare numerica si directie, care depinde doar de coordonate x, y, z acest punct. Un astfel de S. p. staționar; dacă puterea câmpului depinde și de timp, atunci S. p. nestaționare; dacă forța în toate punctele S. p. are aceeași valoare, adică nu depinde nici de coordonate, nici de timp, S. p. omogen.

S. p. staționar poate fi stabilit prin ecuații

Unde Fx, F y, Fz- proiecții ale intensității câmpului F.

Dacă există o astfel de funcție U(x, y, z), numită funcție de forță, că munca elementară a forțelor câmpului este egală cu diferența totală a acestei funcții, atunci C. p. potenţial. În acest caz, S. p. este dat de o funcție U(x, y, z), iar forța F poate fi definită prin această funcție prin egalitățile:

sau . Condiţia pentru existenţa unei funcţii de forţă pentru un S. p. dat este aceea că

sau . La deplasarea intr-un potential S. p. dintr-un punct M1 (x 1 , y 1 , z 1)exact M2 (x 2, y 2, z 2) munca forțelor câmpului este determinată de egalitate și nu depinde de tipul de traiectorie pe care se deplasează punctul de aplicare al forței.

suprafete U(x, y, z) = const, pe care funcția păstrează postul. adică numit suprafete plane. Forța în fiecare punct al câmpului este direcționată de-a lungul normalei la suprafața de nivel care trece prin acest punct; când se deplasează de-a lungul suprafeței plane, munca forțelor câmpului este zero.

Exemple de potenţial S. p.: un câmp gravitaţional omogen, pentru care U=-mgz, Unde t este masa unei particule care se mișcă în câmp, g- accelerarea gravitației (axa zîndreptată vertical în sus). Câmp gravitațional newtonian, pentru care U = km/r, unde r = - distanta fata de centrul de atractie, k - constanta coeficientului pentru campul dat. În locul unei funcții de forță, ca caracteristică a unui potențial S. p., se poate introduce energie potențială P asociat cu U dependenta P(x, y, z)= = -U(x, y, z). Studiul mișcării unei particule într-un potențial S. p. (în absența altor forțe) este mult simplificat, întrucât în ​​acest caz are loc legea conservării mecanicii. energie, ceea ce face posibilă stabilirea unei relații directe între viteza unei particule și poziția acesteia în SP. cu. m. Targ. LINII DE ÎNALTĂ TENSIUNE- o familie de curbe care caracterizează distribuția spațială a câmpului vectorial de forțe; direcția vectorului câmp în fiecare punct coincide cu tangenta la S. l. Astfel, ur-tion S. l. câmp vectorial arbitrar A (x, y, z) se scriu astfel:

Densitatea S. l. caracterizează intensitatea (valoarea) câmpului de forță. Regiunea spațiului delimitată de S. l., trecând la - l. curbă închisă, numită. tub de putere. S. l. câmpul vortex sunt închise. S. l. câmpul potențial începe la sursele câmpului și se termină la scurgerile acestuia (sursele semnului negativ).

Conceptul de S. l. introdus de M. Faraday în studiul magnetismului și apoi dezvoltat în continuare în lucrările lui J. K. Maxwell despre electromagnetism. După ideile lui Faraday și Maxwell, în spațiul pătruns de S. l. electric şi magn. domenii, există mecanice tensiuni corespunzătoare tensiunii de-a lungul S. l. și presiune asupra lor. Matematic, acest concept este exprimat în Tensorul de tensiune Maxwell el-magn. câmpuri.

Odată cu utilizarea conceptului de S. l. mai des vorbesc doar despre linii de câmp: puterea electricului. câmpuri E, inducție magnetică câmpuri LA etc., fără a face special accent pe relația acestor zerouri cu forțele.

Forțele conservatoare sunt numite forțe, a căror activitate nu depinde de calea de tranziție a corpului sau a sistemului de la poziția inițială la cea finală. O proprietate caracteristică a unor astfel de forțe este că munca pe o traiectorie închisă este zero:

Forțele conservatoare includ: gravitația, forța gravitațională, forța elastică și alte forțe.

Forțele neconservative sunt numite forțe, a căror activitate depinde de calea de tranziție a corpului sau a sistemului de la poziția inițială la cea finală. Lucrarea acestor forțe pe o traiectorie închisă este diferită de zero. Forțele neconservative includ: forța de frecare, forța de tracțiune și alte forțe.

Un câmp de forță este un spațiu fizic care satisface condiția în care forțele acționează asupra punctelor unui sistem mecanic situat în acest spațiu, în funcție de poziția acestor puncte sau de poziția punctelor și timpului. Câmp de forță. ale cărei forţe nu depind de timp se numeşte staţionar. Un câmp de forță staționar se numește potențial dacă există o astfel de funcție care depinde în mod unic de coordonatele punctelor sistemului, prin care proiecțiile forței pe axele de coordonate în fiecare punct al câmpului sunt exprimate astfel: X i =∂υ/∂x i ; Y i =∂υ/∂y i ; Z i = ∂υ/∂z i.

Fiecare punct al câmpului potențial îi corespunde, pe de o parte, unei anumite valori a vectorului forță care acționează asupra corpului și, pe de altă parte, unei anumite valori a energiei potențiale. Prin urmare, trebuie să existe o anumită relație între forță și energia potențială.

Pentru a stabili această legătură, calculăm munca elementară efectuată de forțele câmpului în timpul unei mici deplasări a corpului care are loc de-a lungul unei direcții alese în mod arbitrar în spațiu, pe care o notăm cu litera . Această lucrare este

unde este proiecția forței pe direcția .

Deoarece în acest caz munca se realizează datorită stocului de energie potențială, acesta este egal cu pierderea de energie potențială pe segmentul axei:

Din ultimele două expresii obținem

Ultima expresie dă valoarea medie a intervalului . La

pentru a obține valoarea la punct, trebuie să faceți trecerea la limită:

Deoarece se poate schimba nu numai când se deplasează de-a lungul axei, ci și când se deplasează pe alte direcții, limita din această formulă este așa-numita derivată parțială a prin:

Această relație este valabilă pentru orice direcție în spațiu, în special pentru direcțiile axelor de coordonate carteziene x, y, z:

Această formulă determină proiecția vectorului forță pe axele de coordonate. Dacă aceste proiecții sunt cunoscute, atunci vectorul forță în sine este determinat:

în vectorul de matematică ,

unde a este o funcție scalară a lui x, y, z, se numește gradientul acestui scalar și este notat cu simbolul . Prin urmare, forța este egală cu gradientul de energie potențială, luată cu semnul opus

Pe lângă interacțiunile de contact care apar între corpurile în contact, există și interacțiuni între corpuri care sunt îndepărtate unul de celălalt. De exemplu, interacțiunea dintre Soare și Pământ, Pământ și Lună, Pământ și un corp ridicat deasupra suprafeței sale, interacțiunea dintre corpurile electrificate. Aceste interacțiuni sunt realizate prin câmpuri fizice, care sunt o formă specială de materie. Fiecare corp creează o stare specială în spațiul care îl înconjoară, numită putere camp. Acest câmp se manifestă prin acțiunea forțelor asupra altor corpuri. De exemplu, Pământul creează un câmp gravitațional. În ea, o forță - mg acționează asupra fiecărui corp de masă m în fiecare punct din apropierea suprafeței Pământului.

Forțele a căror activitate nu depinde de calea pe care s-a deplasat particula, ci este determinată doar de poziția inițială și finală a particulei, se numesc conservator.

Să arătăm că munca forțelor conservatoare pe orice cale închisă este egală cu zero.

Luați în considerare o cale închisă arbitrară. Să-l împărțim prin punctele 1 și 2 alese în mod arbitrar în două secțiuni: I și II. Lucrarea efectuată pe o cale închisă este:

Fig.18.1. Munca forțelor conservatoare pe o cale închisă

O schimbare a direcției de mișcare de-a lungul secțiunii II spre opus este însoțită de înlocuirea tuturor deplasărilor elementare dr cu (-dr), ceea ce o face să-și inverseze semnul. Apoi:

Acum, înlocuind (18.2.) în (18.1.), obținem că A=0, adică. afirmația de mai sus a fost dovedită de noi. O altă definiție a forțelor conservatoare poate fi formulată după cum urmează: forțele conservative sunt forțe al căror lucru pe orice cale închisă este zero.

Toate forțele care nu sunt conservatoare sunt numite neconservator. Forțele neconservative includ forțele de frecare și rezistență.

Dacă forțele care acționează asupra particulei sunt aceleași ca mărime și direcție în toate punctele câmpului, atunci câmpul se numește omogen.

Se numește un câmp care nu se schimbă în timp staționar. În cazul unui câmp staționar uniform: F=const.

Afirmație: forțele care acționează asupra unei particule într-un câmp staționar uniform sunt conservative.

Să demonstrăm această afirmație. Deoarece câmpul este uniform și staționar, atunci F=const. Să luăm două puncte arbitrare 1 și 2 din acest câmp (Fig. 18.2.) și să calculăm munca efectuată asupra particulei atunci când aceasta se deplasează de la punctul 1 la punctul 2.

18.2. Lucrul forțelor într-un câmp staționar uniform pe drumul de la punctul 1 la punctul 2

Lucrul forțelor care acționează asupra unei particule într-un câmp staționar uniform este:

unde r F este proiecția vectorului de deplasare r 12 pe direcția forței, r F este determinată numai de pozițiile punctelor 1 și 2 și nu depinde de forma traiectoriei. Apoi, munca forței în acest câmp nu depinde de forma traseului, ci este determinată doar de pozițiile punctelor inițiale și finale de deplasare, i.e. forțele unui câmp staționar uniform sunt conservatoare.

În apropierea suprafeței Pământului, câmpul gravitațional este un câmp staționar uniform, iar munca efectuată de forța mg este:

unde (h 1 -h 2) este proiecția deplasării r 12 pe direcția forței, forța mg este îndreptată vertical în jos, forța gravitațională este conservativă.

Forțele care depind doar de distanța dintre particulele care interacționează și direcționate de-a lungul unei linii drepte care trece prin aceste particule sunt numite centrale. Exemple de forțe centrale sunt: ​​Coulomb, gravitaționale, elastice.