Determinați valoarea derivatei funcției în punctul x0. Aflați valoarea derivatei funcției în punctul x0

Calculatorul calculează derivatele tuturor funcțiilor elementare, oferind o soluție detaliată. Variabila de diferențiere este determinată automat.

Derivată de funcție este unul dintre cele mai importante concepte din analiza matematică. Astfel de probleme au dus la apariția derivatei, cum ar fi, de exemplu, calcularea vitezei instantanee a unui punct la un moment de timp, dacă se cunoaște calea în funcție de timp, problema găsirii unei tangente la o funcție într-un punct. .

Cel mai adesea, derivata unei funcții este definită ca limita raportului dintre incrementul funcției și incrementul argumentului, dacă acesta există.

Definiție. Fie definită funcția într-o anumită vecinătate a punctului. Atunci derivata funcției în punct se numește limită, dacă există

Cum se calculează derivata unei funcții?

Pentru a învăța să diferențiem funcții, trebuie să înveți și să înțelegi reguli de diferențiereși învață cum să folosești tabel de derivate.

Reguli de diferențiere

Fie și să fie funcții diferențiabile arbitrare ale unei variabile reale și să fie o constantă reală. Apoi

este regula de diferențiere a produsului de funcții

este regula de diferențiere a funcțiilor de coeficient

0" height="33" width="370" style="vertical-align: -12px;"> — diferențierea unei funcții cu exponent variabil

- regula de diferentiere a unei functii complexe

este regula de diferențiere a funcției de putere

Derivată a unei funcții online

Calculatorul nostru va calcula rapid și precis derivata oricărei funcții online. Programul nu va face greșeli la calcularea derivatei și va ajuta la evitarea calculelor lungi și plictisitoare. Un calculator online va fi de asemenea util atunci când este nevoie să vă verificați soluția pentru corectitudine și, dacă este incorectă, găsiți rapid o eroare.

În problema B9, este dat un grafic al unei funcții sau derivate, din care se cere să se determine una dintre următoarele mărimi:

1. Valoarea derivatei la un punct x 0,
2. Puncte ridicate sau scăzute (puncte extreme),
3. Intervale de funcţii crescătoare şi descrescătoare (intervale de monotonitate).

Funcțiile și derivatele prezentate în această problemă sunt întotdeauna continue, ceea ce simplifică foarte mult soluția. În ciuda faptului că sarcina aparține secțiunii de analiză matematică, este destul de în puterea chiar și a celor mai slabi studenți, deoarece nu sunt necesare cunoștințe teoretice profunde aici.

Pentru a găsi valoarea derivatei, punctelor extreme și intervalelor de monotonitate, există algoritmi simpli și universali - toți vor fi discutați mai jos.

Citiți cu atenție condiția problemei B9 pentru a nu face greșeli stupide: uneori apar texte destul de voluminoase, dar sunt puține condiții importante care afectează cursul soluției.

Calculul valorii derivatului. Metoda în două puncte

Dacă problemei i se dă un grafic al funcției f(x), tangent la acest grafic la un punct x 0 , și este necesar să se găsească valoarea derivatei în acest punct, se aplică următorul algoritm:

1. Găsiți două puncte „adecvate” pe graficul tangentei: coordonatele lor trebuie să fie întregi. Să notăm aceste puncte ca A (x 1 ; y 1) și B (x 2 ; y 2). Notați corect coordonatele - acesta este punctul cheie al soluției, iar orice greșeală aici duce la un răspuns greșit.
2. Cunoscând coordonatele, este ușor de calculat incrementul argumentului Δx = x 2 − x 1 și incrementul funcției Δy = y 2 − y 1 .
3. În final, găsim valoarea derivatei D = Δy/Δx. Cu alte cuvinte, trebuie să împărțiți incrementul funcției la incrementul argumentului - și acesta va fi răspunsul.

Încă o dată, observăm: punctele A și B trebuie căutate tocmai pe tangentă, și nu pe graficul funcției f(x), așa cum se întâmplă adesea. Tangenta va conține în mod necesar cel puțin două astfel de puncte, altfel problema este formulată incorect.

Luați în considerare punctele A (−3; 2) și B (−1; 6) și găsiți incrementele:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Să aflăm valoarea derivatei: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Sarcină. Figura prezintă graficul funcției y \u003d f (x) și tangenta la aceasta în punctul cu abscisa x 0. Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x 0 .

Luați în considerare punctele A (0; 3) și B (3; 0), găsiți incremente:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d -3.

Acum găsim valoarea derivatei: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Sarcină. Figura prezintă graficul funcției y \u003d f (x) și tangenta la aceasta în punctul cu abscisa x 0. Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x 0 .

Luați în considerare punctele A (0; 2) și B (5; 2) și găsiți incremente:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Rămâne de găsit valoarea derivatei: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Din ultimul exemplu, putem formula regula: dacă tangenta este paralelă cu axa OX, derivata funcției în punctul de contact este egală cu zero. În acest caz, nici măcar nu trebuie să calculați nimic - doar uitați-vă la grafic.

Calcularea punctelor mari și scăzute

Uneori, în locul unui grafic al unei funcții din problema B9, este dat un grafic derivat și este necesar să se găsească punctul maxim sau minim al funcției. În acest scenariu, metoda în două puncte este inutilă, dar există un alt algoritm și mai simplu. Mai întâi, să definim terminologia:

1. Punctul x 0 se numește punctul maxim al funcției f(x) dacă în vreo vecinătate a acestui punct este valabilă următoarea inegalitate: f(x 0) ≥ f(x).
2. Punctul x 0 se numește punctul minim al funcției f(x) dacă în vecinătatea acestui punct este valabilă următoarea inegalitate: f(x 0) ≤ f(x).

Pentru a găsi punctele maxime și minime pe graficul derivatei, este suficient să efectuați următorii pași:

1. Redesenați graficul derivatei, eliminând toate informațiile inutile. După cum arată practica, datele suplimentare nu interferează decât cu decizia. Prin urmare, marchem zerourile derivatei pe axa de coordonate - și atât.
2. Aflați semnele derivatei pe intervalele dintre zerouri. Dacă pentru un punct x 0 se știe că f'(x 0) ≠ 0, atunci sunt posibile doar două opțiuni: f'(x 0) ≥ 0 sau f'(x 0) ≤ 0. Semnul derivatei este ușor de determinat din desenul original: dacă graficul derivat se află deasupra axei OX, atunci f'(x) ≥ 0. În schimb, dacă graficul derivat se află sub axa OX, atunci f'(x) ≤ 0.
3. Verificăm din nou zerourile și semnele derivatei. Acolo unde semnul se schimbă de la minus la plus, există un punct minim. În schimb, dacă semnul derivatei se schimbă de la plus la minus, acesta este punctul maxim. Numărarea se face întotdeauna de la stânga la dreapta.

Această schemă funcționează numai pentru funcții continue - nu există altele în problema B9.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe intervalul [−5; 5]. Aflați punctul minim al funcției f(x) pe acest segment.

Să scăpăm de informațiile inutile - vom lăsa doar granițele [−5; 5] și zerourile derivatei x = −3 și x = 2,5. De asemenea, rețineți semnele:

Evident, în punctul x = −3, semnul derivatei se schimbă din minus în plus. Acesta este punctul minim.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe intervalul [−3; 7]. Aflați punctul maxim al funcției f(x) pe acest segment.

Să redesenăm graficul, lăsând doar limitele [−3; 7] și zerourile derivatei x = −1,7 și x = 5. Observați semnele derivatei pe graficul rezultat. Noi avem:

Evident, în punctul x = 5, semnul derivatei se schimbă de la plus la minus - acesta este punctul maxim.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe intervalul [−6; 4]. Aflați numărul de puncte maxime ale funcției f(x) care aparțin intervalului [−4; 3].

Din condițiile problemei rezultă că este suficient să se considere doar partea din grafic mărginită de segmentul [−4; 3]. Prin urmare, construim un nou graf, pe care marchem doar granițele [−4; 3] și zerourile derivatei din interiorul acesteia. Și anume, punctele x = −3,5 și x = 2. Se obține:

Pe acest grafic, există un singur punct maxim x = 2. În el, semnul derivatei se schimbă de la plus la minus.

O mică notă despre punctele cu coordonate care nu sunt întregi. De exemplu, în ultima problemă s-a luat în considerare punctul x = −3,5, dar cu același succes putem lua x = −3,4. Dacă problema este formulată corect, astfel de modificări nu ar trebui să afecteze răspunsul, deoarece punctele „fără un loc fix de reședință” nu sunt direct implicate în rezolvarea problemei. Desigur, cu puncte întregi un astfel de truc nu va funcționa.

Găsirea intervalelor de creștere și scădere a unei funcții

Într-o astfel de problemă, precum punctele de maxim și minim, se propune să se găsească zone în care funcția în sine crește sau scade din graficul derivatei. În primul rând, să definim ce sunt crescător și descendent:

1. O funcție f(x) se numește crescătoare pe un segment dacă pentru oricare două puncte x 1 și x 2 din acest segment afirmația este adevărată: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Cu alte cuvinte, cu cât valoarea argumentului este mai mare, cu atât valoarea funcției este mai mare.
2. O funcție f(x) se numește descrescătoare pe un segment dacă pentru oricare două puncte x 1 și x 2 din acest segment afirmația este adevărată: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Acestea. o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mici a functiei.

Formulăm condiții suficiente pentru creșterea și scăderea:

1. Pentru ca o funcție continuă f(x) să crească pe segment, este suficient ca derivata ei în interiorul segmentului să fie pozitivă, i.e. f'(x) ≥ 0.
2. Pentru ca o funcție continuă f(x) să scadă pe segment, este suficient ca derivata ei în interiorul segmentului să fie negativă, i.e. f'(x) ≤ 0.

Acceptăm aceste afirmații fără dovezi. Astfel, obținem o schemă pentru găsirea intervalelor de creștere și scădere, care este în multe privințe similară cu algoritmul de calcul al punctelor extreme:

1. Eliminați toate informațiile redundante. Pe graficul original al derivatei, ne interesează în primul rând zerourile funcției, așa că le lăsăm doar pe acestea.
2. Marcați semnele derivatei la intervalele dintre zerouri. Acolo unde f'(x) ≥ 0, funcția crește, iar unde f'(x) ≤ 0, ea scade. Dacă problema are restricții asupra variabilei x, le marchem suplimentar pe noua diagramă.
3. Acum că știm comportamentul funcției și al constrângerii, rămâne de calculat valoarea necesară în problemă.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe intervalul [−3; 7,5]. Aflați intervalele funcției descrescătoare f(x). În răspunsul dvs., scrieți suma numerelor întregi incluse în aceste intervale.

Ca de obicei, redesenăm graficul și marchem limitele [−3; 7.5], precum și zerourile derivatei x = −1.5 și x = 5.3. Apoi marchem semnele derivatei. Noi avem:

Deoarece derivata este negativă pe intervalul (− 1,5), acesta este intervalul funcției descrescătoare. Rămâne să însumăm toate numerele întregi care se află în acest interval:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Sarcină. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x) definită pe segmentul [−10; 4]. Aflați intervalele funcției crescătoare f(x). În răspunsul tău, scrie lungimea celui mai mare dintre ele.

Să scăpăm de informațiile redundante. Lăsăm doar limitele [−10; 4] și zerourile derivatei, care de data aceasta s-au dovedit a fi patru: x = −8, x = −6, x = −3 și x = 2. Observați semnele derivatei și obțineți următoarea imagine:

Suntem interesați de intervalele funcției crescătoare, i.e. unde f'(x) ≥ 0. Există două astfel de intervale pe grafic: (−8; −6) și (−3; 2). Să le calculăm lungimile:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Deoarece este necesar să găsim lungimea celui mai mare dintre intervale, scriem valoarea l 2 = 5 ca răspuns.

Exemplul 1

Referinţă: Următoarele moduri de notare a unei funcții sunt echivalente: În unele sarcini, este convenabil să desemnați funcția ca „jucător”, iar în unele ca „ef din x”.

Mai întâi găsim derivata:

Exemplul 2

Calculați derivata unei funcții într-un punct

, , studiu complet al funcției si etc.

Exemplul 3

Calculați derivata funcției în punctul . Să găsim mai întâi derivata:

Ei bine, asta e cu totul altă chestiune. Calculați valoarea derivatei în punctul:

În cazul în care nu înțelegeți cum a fost găsit derivatul, reveniți la primele două lecții ale subiectului. Dacă există dificultăți (neînțelegeri) cu arc-tangente și semnificațiile acesteia, neapărat studiul materialului metodologic Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare- ultimul paragraf. Pentru că există încă suficiente arctangente pentru vârsta studenților.

Exemplul 4

Calculați derivata funcției în punctul .

Ecuația tangentei la graficul funcției

Pentru a consolida paragraful anterior, luați în considerare problema găsirii tangentei la grafica functionalaîn acest moment. Am îndeplinit această sarcină la școală și se regăsește și în cursul matematicii superioare.

Luați în considerare un exemplu elementar de „demonstrație”.

Scrieți o ecuație pentru tangenta la graficul funcției în punctul cu abscisa. Voi oferi imediat o soluție grafică gata făcută problemei (în practică, acest lucru nu este necesar în majoritatea cazurilor):

O definiție riguroasă a unei tangente este dată de definiții ale derivatei unei funcții, dar deocamdată vom stăpâni partea tehnică a problemei. Cu siguranță aproape toată lumea înțelege intuitiv ce este o tangentă. Dacă explicați „pe degete”, atunci tangenta la graficul funcției este Drept, care se referă la graficul funcției în singurul punct. În acest caz, toate punctele apropiate ale dreptei sunt situate cât mai aproape de graficul funcției.

Așa cum se aplică în cazul nostru: la , tangenta (notația standard) atinge graficul funcției într-un singur punct.

Și sarcina noastră este să găsim ecuația unei linii drepte.

Derivată a unei funcții într-un punct

Cum se află derivata unei funcții într-un punct? Din formulare rezultă două puncte evidente ale acestei sarcini:

1) Este necesar să se găsească derivata.

2) Este necesar să se calculeze valoarea derivatei la un punct dat.

Exemplul 1

Calculați derivata unei funcții într-un punct

Ajutor: Următoarele moduri de notare a unei funcții sunt echivalente:


În unele sarcini, este convenabil să desemnați funcția ca „jucător”, iar în unele ca „ef din x”.

Mai întâi găsim derivata:

Sper că mulți s-au adaptat deja pentru a găsi astfel de derivate pe cale orală.

La a doua etapă, calculăm valoarea derivatei în punctul:

Un mic exemplu de încălzire pentru o soluție independentă:

Exemplul 2

Calculați derivata unei funcții într-un punct

Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Necesitatea de a găsi derivata într-un punct apare în următoarele sarcini: construirea unei tangente la graficul unei funcții (paragraful următor), studiul unei funcții pentru un extremum , studiul functiei de inflexie a graficului , studiu complet al funcției si etc.

Dar sarcina luată în considerare se găsește în documentele de control și de la sine. Și, de regulă, în astfel de cazuri, funcția este dată destul de complicată. În acest sens, luați în considerare încă două exemple.

Exemplul 3

Calculați derivata unei funcții la punctul .
Să găsim mai întâi derivata:

Derivata, în principiu, se găsește, iar valoarea cerută poate fi înlocuită. Dar chiar nu vreau să fac nimic. Expresia este foarte lungă, iar valoarea lui „x” este fracțională. Prin urmare, încercăm să simplificăm cât mai mult posibil derivata noastră. În acest caz, să încercăm să reducem ultimii trei termeni la un numitor comun: la punctul .

Acesta este un exemplu de do-it-yourself.

Cum se găsește valoarea derivatei funcției F(x) în punctul Ho? Cum se rezolvă în general?

Dacă formula este dată, atunci găsiți derivata și înlocuiți X-zero în loc de X. numara
Dacă vorbim de b-8 USE, grafic, atunci trebuie să găsiți tangenta unghiului (acut sau obtuz), care formează o tangentă la axa X (folosind construcția mentală a unui triunghi dreptunghic și determinând tangenta lui unghiul)

Timur adilhodzhaev

În primul rând, trebuie să vă decideți asupra semnului. Dacă punctul x0 se află în partea inferioară a planului de coordonate, atunci semnul din răspuns va fi minus, iar dacă este mai mare, atunci +.
În al doilea rând, trebuie să știți ce este tange într-un dreptunghi dreptunghiular. Și acesta este raportul dintre partea opusă (picior) și partea adiacentă (de asemenea, piciorul). De obicei, pe tablou există câteva semne negre. Din aceste semne faceți un triunghi dreptunghic și găsiți tange.

Cum se găsește valoarea derivatei funcției f x în punctul x0?

În cazul general, pentru a găsi valoarea derivatei unei funcții față de o variabilă în orice punct, este necesar să se diferențieze funcția dată față de această variabilă. În cazul dvs., prin variabila X. În expresia rezultată, în loc de X, puneți valoarea lui x în punctul pentru care trebuie să găsiți valoarea derivatei, adică. în cazul dvs., înlocuiți zero X și calculați expresia rezultată.

Ei bine, dorința ta de a înțelege această problemă, după părerea mea, merită fără îndoială +, pe care l-am pus cu conștiința curată.

O astfel de formulare a problemei găsirii derivatului este adesea pusă pentru a fixa materialul pe sensul geometric al derivatului. Se propune un grafic al unei anumite funcții, complet arbitrar și nu dat de o ecuație, și se cere să se găsească valoarea derivatei (nu derivata în sine!) în punctul specificat X0. Pentru a face acest lucru, se construiește o tangentă la funcția dată și se găsesc punctele de intersecție a acesteia cu axele de coordonate. Atunci ecuația acestei tangente se întocmește sub forma y=kx+b.

În această ecuație, coeficientul k și va fi valoarea derivatei. rămâne doar să găsim valoarea coeficientului b. Pentru a face acest lucru, găsim valoarea lui y la x \u003d o, să fie egală cu 3 - aceasta este valoarea coeficientului b. Înlocuim valorile lui X0 și Y0 în ecuația originală și găsim k - valoarea noastră a derivatei în acest punct.

S-a scris multă teorie despre semnificația geometrică. Nu voi intra în derivarea incrementului funcției, vă voi aminti principalul lucru pentru finalizarea sarcinilor:

Derivata în punctul x este egală cu panta tangentei la graficul funcției y = f (x) în acest punct, adică este tangenta unghiului de înclinare la axa X.

Să luăm imediat sarcina de la examen și să începem să o înțelegem:

Sarcina numărul 1. Figura arată graficul funcției y = f(x) și tangenta la acesta în punctul cu abscisă x0. Aflați valoarea derivatei funcției f(x) în punctul x0.
Cine se grăbește și nu vrea să înțeleagă explicațiile: construiți până la orice astfel de triunghi (după cum se arată mai jos) și împărțiți latura în picioare (verticală) la cea culcat (orizontală) și veți fi fericit dacă nu uitați de semn (dacă linia dreaptă scade (→ ↓), atunci răspunsul ar trebui să fie cu minus, dacă linia dreaptă crește (→), atunci răspunsul trebuie să fie pozitiv!)

Trebuie să găsiți unghiul dintre tangentă și axa X, să-l numim α: trageți o linie dreaptă paralelă cu axa X oriunde prin tangenta la grafic, obținem același unghi.

Este mai bine să nu luați punctul x0, pentru că veți avea nevoie de o lupă mare pentru a determina coordonatele exacte.

Luând orice triunghi dreptunghic (în figură sunt sugerate 3 opțiuni), găsim tgα (unghiurile sunt egale, după cum corespunde), adică. obţinem derivata funcţiei f(x) în punctul x0. De ce asa?

Dacă trasăm tangente în alte puncte x2, x1 etc. tangentele vor fi diferite.

Să ne întoarcem în clasa a VII-a pentru a construi o linie dreaptă!

Ecuația unei drepte este dată de ecuația y = kx + b , unde

k - înclinare față de axa X.

b este distanța dintre punctul de intersecție cu axa Y și origine.

Derivata unei drepte este întotdeauna aceeași: y" = k.

În orice punct al liniei luăm derivata, aceasta va rămâne neschimbată.

Prin urmare, rămâne doar să găsim tgα (după cum sa menționat mai sus: împărțim partea în picioare de partea culcată). Împărțim piciorul opus la cel adiacent, obținem acel k \u003d 0,5. Totuși, dacă graficul este descrescător, coeficientul este negativ: k = −0,5.

Vă sfătuiesc să verificați a doua cale:
Două puncte pot fi folosite pentru a defini o linie dreaptă. Găsiți coordonatele oricăror două puncte. De exemplu, (-2;-2) și (2;-4):

Înlocuiți în ecuația y = kx + b în loc de y și x coordonatele punctelor:

-2 = -2k + b

Rezolvând acest sistem, obținem b = −3, k = −0,5

Concluzie: A doua metodă este mai lungă, dar în ea nu veți uita de semn.

Răspuns: - 0,5

Sarcina numărul 2. Figura arată grafic derivat funcțiile f(x). Opt puncte sunt marcate pe axa x: x1, x2, x3, ..., x8. Câte dintre aceste puncte se află pe intervalele funcției crescătoare f(x)?

Dacă graficul funcției este descrescător - derivata este negativă (și invers).

Dacă graficul funcției crește, derivata este pozitivă (și invers).

Aceste două fraze vă vor ajuta să rezolvați majoritatea problemelor.

Priveste cu atentie vi se oferă un desen al unei derivate sau al unei funcții, apoi alegeți una dintre cele două expresii.

Construim un grafic schematic al funcției. pentru că ni se dă un grafic al derivatei, apoi unde este negativă, graficul funcției scade, unde este pozitivă, crește!

Rezultă că 3 puncte se află pe zonele de creștere: x4; x5; x6.

Raspuns: 3

Sarcina numărul 3. Funcția f(x) este definită pe intervalul (-6; 4). Imaginea arată grafic al derivatei sale. Aflați abscisa punctului în care funcția ia cea mai mare valoare.

Vă sfătuiesc să construiți întotdeauna cum merge graficul funcției, cu astfel de săgeți sau schematic cu semne (ca în nr. 4 și nr. 5):

Evident, dacă graficul crește la -2, atunci punctul maxim este -2.

Raspuns: -2

Sarcina numărul 4. Figura prezintă un grafic al funcției f(x) și douăsprezece puncte de pe axa x: x1, x2, ..., x12. În câte dintre aceste puncte derivata funcției este negativă?

Sarcina este inversă, având în vedere graficul funcției, trebuie să construiți schematic cum va arăta graficul derivatei funcției și să calculați câte puncte se vor afla în intervalul negativ.

Pozitiv: x1, x6, x7, x12.

Negativ: x2, x3, x4, x5, x9, x10, x11.

Raspuns: 7

Un alt tip de sarcină, când sunteți întrebat despre niște „extreme” teribile? Nu vă va fi greu să găsiți ce este, dar voi explica pentru grafice.

Sarcina numărul 5. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f(x), definită pe intervalul (-16; 6). Aflați numărul de puncte extreme ale funcției f(x) pe segmentul [-11; 5].

Observați intervalul de la -11 la 5!

Să ne îndreptăm ochii strălucitori către placă: este dat graficul derivatei funcției => atunci extremele sunt punctele de intersecție cu axa X.

Raspuns: 3

Sarcina numărul 6. Figura prezintă un grafic al derivatei funcției f (x), definită pe intervalul (-13; 9). Aflați numărul de puncte maxime ale funcției f(x) pe intervalul [-12; 5].

Rețineți intervalul de la -12 la 5!

Puteți privi placa cu un ochi, punctul maxim este un extremum, astfel încât înaintea ei derivata este pozitivă (funcția crește), iar după aceasta derivata este negativă (funcția scade). Aceste puncte sunt încercuite.

Săgețile arată cum se comportă graficul funcției.

Raspuns: 3

Sarcina numărul 7. Figura prezintă un grafic al funcției f(x) definită pe intervalul (-7; 5). Aflați numărul de puncte în care derivata funcției f(x) este egală cu 0.

Vă puteți uita la tabelul de mai sus (derivata este zero, ceea ce înseamnă că acestea sunt puncte extreme). Și în această problemă, este dat graficul funcției, ceea ce înseamnă că trebuie să găsiți numărul de puncte de inflexiune!

Și puteți, ca de obicei: construim un grafic schematic al derivatei.

Derivata este zero atunci când graficul funcțiilor își schimbă direcția (de la creștere la descreștere și invers)

Raspuns: 8

Sarcina numărul 8. Imaginea arată grafic derivat funcția f(x) definită pe intervalul (-2; 10). Aflați intervalele funcției crescătoare f(x). În răspunsul dvs., indicați suma punctelor întregi incluse în aceste intervale.

Să construim un grafic schematic al funcției:

Acolo unde crește, obținem 4 puncte întregi: 4 + 5 + 6 + 7 = 22.

Raspuns: 22

Sarcina numărul 9. Imaginea arată grafic derivat funcția f(x) definită pe intervalul (-6; 6). Aflați numărul de puncte f(x) în care tangenta la graficul funcției este paralelă sau coincide cu dreapta y = 2x + 13.

Ni se oferă un grafic al derivatei! Aceasta înseamnă că tangenta noastră trebuie, de asemenea, să fie „tradusă” într-o derivată.

Derivată tangentă: y" = 2.

Acum să construim ambele derivate:

Tangentele se intersectează în trei puncte, deci răspunsul nostru este 3.

Raspuns: 3

Sarcina numărul 10. Figura prezintă graficul funcției f (x) și sunt marcate punctele -2, 1, 2, 3. În care dintre aceste puncte este valoarea derivatei cea mai mică? Vă rugăm să indicați acest punct în răspunsul dvs.

Sarcina este oarecum similară cu prima: pentru a găsi valoarea derivatei, trebuie să construiți o tangentă la acest grafic într-un punct și să găsiți coeficientul k.

Dacă linia este descrescătoare, k< 0.

Dacă linia este în creștere, k > 0.

Să ne gândim la modul în care valoarea coeficientului va afecta panta dreptei:

Cu k = 1 sau k = − 1, graficul va fi la mijloc între axele x și y.

Cu cât linia dreaptă este mai aproape de axa X, cu atât coeficientul k este mai aproape de zero.

Cu cât linia este mai aproape de axa Y, cu atât coeficientul k este mai aproape de infinit.

La punctul -2 și 1 k<0, однако в точке 1 прямая убывает "быстрее" больше похоже на ось Y =>acolo va fi cea mai mică valoare a derivatei

Raspunsul 1

Sarcina numărul 11. Linia este tangentă y = 3x + 9 la graficul funcției y = x³ + x² + 2x + 8 . Găsiți abscisa punctului de contact.

Linia va fi tangentă la grafic atunci când graficele au un punct comun, ca și derivatele lor. Echivalează ecuațiile graficelor și derivatele lor:

Rezolvând a doua ecuație, obținem 2 puncte. Pentru a verifica care dintre ele este potrivită, înlocuim fiecare dintre x în prima ecuație. Doar unul va face.

Nu vreau să rezolv deloc o ecuație cubică, ci una pătrată pentru un suflet dulce.

Doar asta trebuie să notezi ca răspuns, dacă primești două răspunsuri „normale”?

Când înlocuiți x (x) în graficele originale y \u003d 3x + 9 și y \u003d x³ + x² + 2x + 8, ar trebui să obțineți același Y

y= 1³+1²+2×1+8=12

Dreapta! Deci x=1 va fi răspunsul

Sarcina numărul 12. Linia y = − 5x − 6 este tangentă la graficul funcției ax² + 5x − 5 . Gaseste un .

În mod similar, echivalăm funcțiile și derivatele lor:

Să rezolvăm acest sistem în raport cu variabilele a și x:

Raspuns: 25

Sarcina cu derivate este considerată una dintre cele mai dificile din prima parte a examenului, cu toate acestea, cu o mică atenție și înțelegere a problemei, veți reuși și veți crește procentul de finalizare a acestei sarcini!